Задача к ЕГЭ на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» №9

Дана геометрическая прогрессия длины 3 с натуральным первым членом и натуральным знаменателем, большим единицы.

а) Может ли произведение всех трех членов прогрессии быть равно 9261?

б) Может ли третий член прогрессии быть равен 210?

в) Какое наименьшее значение может принимать первый член, если сумма всех трех членов равна 189?

Обозначим члены прогрессии через $b1,$ $b2,$ $b3,$ знаменатель через $m,$ тогда $b2 = b1m,$ $2 b3 = b1m .$

а) Запишем условие о том, что произведение членов равно 9261

2 3 3 b1⋅b2⋅b3 = b1 ⋅b1m√⋅b1m = b1m =9261 b1m = 39261= 21

Такое возможно, например, при $b1 = 3,$ $m = 7.$

б) Допустим, такое возможно и $b3 = b1m2 = 210.$ Разложим число 210 на простые множители

210= 2 ⋅3 ⋅5⋅7

Число $m$ — натуральное, причем $m2$ является делителем числа 210. В разложение числа 210 все простые множители входят в первой степени, значит, единственное подходящее натуральное $m = 1.$ Однако по условию m > 1, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5240-15.svg» width=»auto»> получаем противоречие. </p>
<p class= в) Запишем условие на сумму трех членов

2 b1+ b(2+ b3 = b1+) b1m + b1m = = b1 1 +m + m2 =189 =33 ⋅7

Все числа натуральные, следовательно, $b1$ должно быть делителем числа 189. Мы хотим найти минимальное допустимое значение для первого члена, поэтому будем перебирать делители числа 189, начиная с наименьших.

$b1 = 1,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 ⇔ m2+ m − 188= 0$
Дискриминант $D = 1 +188⋅4 =753$ не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет натуральных решений, и $b1$ не может принимать такое значение.
$b1 = 3,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 3 m2 +m − 62= 0$
Дискриминант $D = 1 +62 ⋅4 = 249$ не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет натуральных решений, и $b1$ не может принимать такое значение.
$b1 = 7,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 7 m2 +m − 26= 0$
Дискриминант $D = 1 +26 ⋅4 = 105$ не является полным квадратом, следовательно, уравнение точно не имеет натуральных решений, и $b1$ не может принимать такое значение.
$b1 = 9,$ тогда
$1 +m + m2 = 189 9 m2 +m − 20= 0 m = − 5; 4$
Уравнение имеет натуральное решение $m = 4,$ следовательно, $b1 = 9$ — минимальное подходящее значение первого члена.