Задача к ЕГЭ на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Дана арифметическая прогрессия с натуральной разностью $d,$ кратной 5. Все члены прогрессии — натуральные числа.

а) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 600?

б) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 625, если не все из них кратны 5?

в) Сумма первых $n$ членов прогрессии равна 7756. Какое наибольшее значение может принимать $n?$

а) Обозначим первый член прогрессии через $a1.$ Запишем условие о том, что сумма $S10$ первых 10 членов равна 600.

a +a 2a + 9d 600 =S10 = -12-10-⋅10 = --12---⋅10

Тогда $2a1+ 9d= 120.$

Этому равенству удовлетворяют, например, $d =10$ и $a1 = 15.$

б) Обозначим первый член прогрессии через $a1.$ Запишем условие о том, что сумма $S10$ первых 10 членов равна 625.

a1+a10 2a1+ 9d 625 =S10 = --2----⋅10 = ---2---⋅10

Тогда $2a1+ 9d= 125.$

$9d$ делится на 5, 125 делится на 5, следовательно $2a1$ и $a1$ тоже делятся на 5. Получили, что и первый член прогрессии, и ее разность кратны 5, следовательно, все члены прогрессии кратны 5. Получаем противоречие с условием.

в) Обозначим первый член прогрессии через $a1.$ Запишем условие о том, что сумма $Sn$ первых $n$ членов равна 7756

7756= Sn = a1-+an ⋅n= 2a1+-d(n−-1)⋅n 2 2 15512 =(2a1+ d(n− 1))⋅n

Из условия $a1 ≥ 1,$ $d≥ 5,$ тогда

(2a1+ d(n− 1))⋅n≥ (2+ 5(n − 1))⋅n =5n2 − 3n

Очевидно, что оценка снизу правой части не должна превышать число 15512, откуда получаем

[ 277 ] 5n2 − 3n ≤ 15512 ⇔ n ∈ −-5-;56

Таким образом, мы доказали, что число $n$ не должно превышать 56. Пример на 56 очевиден, так как неравенство обратится в равенство. Проверим, что сумма первых 56 членов арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью 5 действительно равна 7756

a1+ a56 1+ (1+ 5⋅55) S56 = --2----⋅56 = -----2------⋅56= 7756