Задача к ЕГЭ на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите сумму $7 + 77 + 777 + ...+ 777...7$ , где запись последнего числа содержит $2n$ семёрок.

Данную сумму можно переписать в виде

7(1 + 11 + 111 + ...+ 111...1),

где запись последнего числа в скобках содержит $2n$ единиц.

Последнюю сумму можно переписать в виде

7(1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + ...+ (100...0 + ...+ 1)) = 0 1 2 2n−1 = 7(10 ⋅ 2n + 10 ⋅ (2n − 1) + 10 ⋅ (2n − 2) + ...+ 10 ⋅ 1) = = 7((1 + 10 + 102 + ...+ 102n− 1) + (1 + 10 + 102 + ...+ 102n− 2) + ...+ (1 + 10) + 1))

Суммы в скобках есть суммы геометрических прогрессий. Например, $2 2n−1 102n-−-1- 1 + 10 + 10 + ...+ 10 = 10 − 1$ , тогда последнее выражение равно

( ) 102n-−-1- 102n−-1 −-1 102-−-1- 10 −-1- 7 10 − 1 + 10 − 1 + ...+ 10 − 1 + 10 − 1 = = 7((102n − 1) + (102n −1 − 1 ) + ...+ (102 − 1) + (10 − 1)) = 9 ( ) 7- 2n 2n−1 2 7- 10 ⋅-(102n-−-1) = 9(10 + 10 + ...+ 10 + 10 − 2n ) = 9 10 − 1 − 2n = = 70-⋅ (102n − 1) − 14-⋅ n 81 9