Задача к ЕГЭ на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Известно, что в последовательности $a1,...,an,...$ каждый член, начиная со второго, есть среднее арифметическое предыдущего и последующего членов последовательности. Также известно, что $a50 = 100$ , $S199 = π$ . Найдите сумму ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с $a100$ .

Покажем, что последовательность $a1, ...,an, ...$ – арифметическая прогрессия.

Введём обозначение $d = a2 − a1$ , тогда

a1-+-a3 a1 + d = a2 = 2 ⇒ 2(a1 + d) = a1 + a3 ⇒ a3 = a1 + 2d.

Докажем при помощи полной индукции, что $an+1 = an + d$ :

1) При $n = 1$ имеем $a2 = a1 + d$ – верно.

2) Пусть утверждение верно для всех $n ≤ N$ , покажем, что тогда оно верно и для $n = N + 1$ :

a + a a1 + (N − 1 )d = aN = -N+1----N-−1- ⇒ 2(a1 + (N − 1)d) = aN+1 + aN− 1, 2

откуда

aN+1 = 2(a1 + (N − 1)d) − aN −1 = 2(a1 + (N − 1)d) − (a1 + (N − 2)d) = a1 + N d,

что и требовалось доказать.

Сумма ста подряд идущих членов этой последовательности, начиная с $a100$ , есть

a99+1 + ...+ a99+100 = a100 + ...+ a199 = S199 − S99 = π − S99.

$a1-+-a99 S99 = 2 ⋅ 99$ .

$a50 = a1 + 49d$ ,

$a99 = a1 + 98d$ ,
следовательно,

a99 + a1 = 2a1 + 98d = 2(a1 + 49d ) = 2 ⋅ a50,

тогда $S99 = a50 ⋅ 99 = 9900$ .

В итоге $a + ...+ a = π − 9900 100 199$ .

Арифметическая и геометрическая прогрессии