Задача к ЕГЭ на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно 2 общих члена?

Пусть первая прогрессия имеет вид $a1,...,an,...$ ,

пусть вторая прогрессия имеет вид $b1,...,bn,...$ .

$∙$ Рассмотрим сначала случай, когда разности $da$ и $db$ прогрессий отличны от $0$ .

Пусть существуют пары натуральных чисел $(k1;m1 )$ и $(k2;m2 )$ такие что $ak1 = bm1$ и $ak2 = bm2$ . Так как обе последовательности состоят только из положительных чисел, то обе они возрастают, следовательно, можно считать, что $k1 < k2$ , $m1 < m2$ .

Тогда

ak1 + da (k2 − k1) = ak2 = bm2 = bm1 + db(m2 − m1 ),

но $ak1 = bm1$ , следовательно,

d (k − k ) = d (m − m ) ⇒ d ⋅ 2(k − k ) = d ⋅ 2(m − m ). a 2 1 b 2 1 a 2 1 b 2 1

Так как $k > k > 0 2 1 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$ и существует

a2k2− k1 = ak1 + da((2k2 − k1) − k1) = ak1 + da ⋅ 2(k2 − k1).

Так как $m2 > m1 > 0 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding=$ и существует

b2m2−m1 = bm1 + db((2m2 − m1 ) − m1) = bm1 + db ⋅ 2(m2 − m1).

Но $da ⋅ 2(k2 − k1) = db ⋅ 2 (m2 − m1 )$ , следовательно,

a = b , 2k2−k1 2m2 −m1

то есть эти прогрессии имеют минимум 3 общих члена. (На самом деле у них бесконечно много общих членов, что показывается аналогично).

$∙$ Рассмотрим теперь случай, когда одна из разностей $da$ и $db$ равна $0$ .

Пусть $da = 0$ , $db ⁄= 0$ , тогда $db > 0 » class=»math» width=»auto»> (последовательности из положительных чисел), тогда <img decoding=$ – возрастает, а $a1,...,an,...$ – постоянна, следовательно, у уравнения $ak = bm$ может быть не более одного решения, но по условию их должно быть два, то есть этот случай не подходит.

Пусть $da = 0$ , $db = 0$ , тогда обе последовательности – постоянны, следовательно, у уравнения $ak = bm$ не может быть ровно двух решений.

В итоге, две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел не могут иметь ровно 2 общих члена.