Задача к ЕГЭ на тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии иметь ровно 1000 общих членов?

Рассмотрим две последовательности:

− 2015, −2013, −2011, −2009, ...

−17, − 19, −21, − 23, ...

В самом деле, общий член первой последовательности имеет вид $a = − 2017 +2n, n$ а общий член второй последовательности имеет вид $bn = −15− 2n.$

Остаётся понять, сколько решений есть у уравнения $ak =bm$ в натуральных числах.

−2017+ 2k = −15− 2m ⇔ m + k = 1001 ⇔ m = 1001− k

Таким образом, $m, k ∈ℕ$ тогда и только тогда, когда $k ∈ {1;2;...;1000},$ то есть выписанное уравнение имеет ровно 1000 решений в натуральных числах, что и требовалось.