Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически» №9

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ 2axy + 2x − 2y + 3 = 0 x + 2y + xy + 1 = 0

имеет единственное решение.

Распишем второе уравнение как $x (1 + y ) + 2(y + 1) − 1 = 0 ⇔ (y + 1)(x + 2) = 1$ .
Из данного равенства мы видим, что $x ⁄= − 2,y ⁄= − 1$ .
Выразим $y = -1-− 1 x+2$ и подставим в первое уравнение:

2 { 2 2(1-−-a)x--+-(9 −-2a)x-+-8 = 0 ⇔ 2(1 − a)x + (9 − 2a)x + 8 = 0 (∗) x + 2 x ⁄= − 2

1) Если $a = 1$ , то первое уравнение системы $(∗)$ становится линейным и $x = − 8⁄= − 2 7$ . Следовательно, вся система $(∗)$ , а значит и исходная система, имеет единственное решение.

2) Пусть $a ⁄= 1$ . Тогда первое уравнение системы $(∗)$ квадратное. Для того, чтобы оно имело решения, нужно, чтобы дискриминант $D ≥ 0$ :

( --] [ -- ) − 7 − 4√ 2 − 7 + 4√ 2 4a2 + 28a + 17 ≥ 0 ⇔ a ∈ − ∞; ---------- ∪ ----------;+ ∞ 2 2

2.1) Заметим, что если первое уравнение системы $(∗)$ имеет одно решение, то есть $D = 0$ , то этот корень не должен быть равен $− 2$ . Проверим это.
Если уравнение имеет одно решение, то $− 7 ± 4√2-- a = ---------- 2$ и это решение равно

9-−-2a-- x0 = − 4(1 − a )

Найдем, при каких $a$ $x0 = − 2$ :

− -9-−-2a- = − 2 ⇔ a = − 1- 4(1 − a) 6

Видим, что $√ -- − 1-⁄= −-7-±-4--2 6 2$ . Следовательно, при $√ -- a = −-7 ±-4--2 2$ первое уравнение системы $(∗)$ имеет одно решение, не равное $− 2$ , следовательно, и исходная система имеет одно решение.

2.2) Если первое уравнение имеет два решения, то есть

( √ -) ( √ -- ) a ∈ − ∞; −-7-−-4--2 ∪ − 7-+-4-2-;+∞ (∗∗), 2 2

то одно из этих решений должно быть равно $− 2$ (тогда система $(∗)$ будет иметь ровно одно решение, следовательно, и исходная система будет иметь одно решение).
Найдем, при каких $a$ первое уравнение имеет корень $x = − 2$ :

1- 2(1 − a) ⋅ 4 + (9 − 2a) ⋅ (− 2) + 8 = 0 ⇔ a = − 2

Это значение параметра входит во множество $(∗∗)$ . Следовательно, если первое уравнение имеет два (различных) корня (то есть при $a$ из множества $(∗∗)$ ), то лишь при $a = − 0,5$ один из корней будет равен $− 2$ . Следовательно, система $(∗)$ будет иметь одно решение, значит, и исходная система будет иметь одно решение.

Таким образом, система будет иметь единственное решение при

{ √ -} − 7 ± 4 2 a ∈ ---------- ∪ {− 0,5} ∪ {1 } 2