Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых только одно из чисел $x= 6$ и $x= 7$ является решением неравенства

2 2 2 (x − 13x+ 42)⋅log3(10+ a (x − 6)− 7a(x− 6))≤ 0

Преобразуем данное неравенство к виду:

2 2 (x− 6)(x − 7)⋅log3(10 +a (x− 6)− 7a(x− 6) )≤ 0

Число $x= 6$ является решением неравенства при любом значении параметра $a$ , так как в этом случае неравенство равносильно

0 ⋅log310≤ 0 ⇔ 0 ≤0

Значит, необходимо найти те значения $a,$ при которых число $x =7$ не будет являться решением неравенства. Это возможно только в том случае, если при $x = 7$ не выполнено ОДЗ логарифма.

При $x= 7$ неравенство равносильно

2 2 0 ⋅log3(10 +a (7− 6)− 7a(7− 6) )≤ 0

Следовательно, если логарифм определен (то есть его аргумент положителен), то неравенство будет равносильно $0≤ 0,$ что верно. Значит необходимо, чтобы при $x= 7$ логарифм не был определен:

2 2 10+ a (7 − 6)− 7a(7− 6) ≤ 0 ⇒ 2 ≤ a≤ 5