Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Найти, при каких значениях параметра $a$ уравнение

√ ------ x − a ⋅ (a(x2 + 1) + a2x + x) = 0

имеет единственное решение.

Разложим выражение в скобках на множители: $ax2 + a2x + a + x = ax(a + x) + (a + x) = (a + x )(ax + 1)$ .

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

( | x ≥ a ||{ ⌊ x + a = 0 || |⌈ ax + 1 = 0 (∗) |( x − a = 0

1) $a = 0 ⇒$ уравнение $(∗)$ не имеет решений, а вся система имеет одно решение $x = 0$ .

2) $a ⁄= 0$ . Тогда система равносильна:

( | x ≥ a ||| ⌊ { x1 = − a | || 1- ||| ⌈x2 = − a ( x3 = a

Данная система всегда имеет как минимум одно решение $x = a 3$ . Значит, для того, чтобы она имела ровно одно решение, необходимо, чтобы корни $x1$ и $x2$ не удовлетворяли $x ≥ a$ или совпадали с $x3$ :

⌊ ( { − a < a ⌊ { || 1- a > 0 || ( − a < a ⇒ |⌈ a > 0 ⇒ a > 0 ⌈ 1 − a = a = − — a ∈ ∅ a » class=»math-display» width=»auto»></center> </div> </p> </div><!-- .entry-content --> </article> <div class=