Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ (x + 2a )2 + (y + 3a + 1)2 = a + 1 3x − 4y = a − 1

имеет более одного решения.

Домножим первое уравнение на $16$ , а из второго выразим $4y$ :

{ 16(x + 2a )2 + (4y + 12a + 4)2 = 16(a + 1) 4y = 3x − a + 1

Подставим в первое уравнение $4y = 3x − a + 1$ , раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

25x2 + (130a + 30)x + (185a2 + 94a + 9 ) = 0.

Для того, чтобы изначальная система имела более одного решения, достаточно, чтобы полученное квадратное уравнение имело более одного решения (то есть два). Следовательно, дискриминант должен быть положителен:

D = − 16 ⋅ 100(a2 + a) > 0 ⇔ − 1 < a < 0.