Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически» №12

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 2 x--+-x--−-9a-x-−-2x-+--a x3 − 9a2x = 1

имеет ровно один корень.

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю, тогда уравнение примет вид

x2-−-2x-+-a- -(x-−-1)2 +-a −-1- x3 − 9a2x = 0 ⇔ x(x − 3a )(x + 3a ) = 0

Заметим, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. А уравнение $(x − 1)2 = 1 − a$ имеет корни тогда и только тогда, когда $1 − a ≥ 0$ . Следовательно, уже можно сказать, что при $1 − a < 0$ уравнение не будет иметь решений.
Пусть $1 − a ≥ 0$ . Тогда уравнение равносильно системе:

( 2 ||| (x − 1) = 1 − a { x ⁄= 0 |||( x ⁄= 3a x ⁄= − 3a

Назовем последние три уравнения системы ОДЗ.
Рассмотрим два случая:

1) $1 − a = 0$ . Тогда первое уравнение системы имеет единственное решение $x = 1$ . Заметим, что этот корень подходит под ОДЗ.

2) $1 − a > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда первое уравнение системы имеет два корня: <img decoding=$ и $------ x2 = 1 + √ 1 − a$ . Заметим, что оба эти корня симметричны относительно $1$ (причем $x1 < 1, x2 > 1 » class=»math» width=»auto»>).<br class=$ Следовательно, чтобы вся система имела ровно одно решение, нужно, чтобы ровно один из этих корней не подходил под ОДЗ.

Рассмотрим отдельно случай, когда $a = 0$ . Тогда ОДЗ: $x ⁄= 0$ , а $-- x1 = 1 − √ 1 = 0$ , $x2 = 2$ . Этот случай нам подходит.

Пусть теперь $a ⁄= 0$ . Тогда нужно, чтобы:
I. $x1 = 3a$ . Тогда ввиду симметричности корней $x2 = 2 − 3a ⁄= − 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x2$ .
II. $x1 = − 3a ⇒ x2 = 2 + 3a ⁄= 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x2$ .
III. $x2 = 3a ⇒ x1 = 2 − 3a ⁄= − 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x1$ .
IV. $x2 = − 3a ⇒ x1 = 2 + 3a ⁄= 3a$ . То есть уравнение будет иметь корень $x1$ .