Найдите все возможные значения параметра 
, при которых уравнение
имеет четыре различных корня, образующих арифметическую прогрессию.
Для того, чтобы данное уравнение имело 4 различных корня, нужно, чтобы каждое из уравнений 
и 
имело 2 корня, причем все 4 корня были различны. Пусть 
– корни первого уравнения, 
– корни второго. Следовательно, дискриминанты обоих уравнений положительны:
Рассмотрим функции 
и 
. Графиками этих функций являются параболы, причем обе параболы имеют абсциссу вершины 
. Тогда существует только два возможных варианта расположения корней.
1) График 
находится выше графика 
.
Тогда 
. Т.к. обе параболы симметричны относительно прямой 
, то точки 
и 
находятся на одинаковом расстояние от точки 
. Аналогично с точками 
и 
. Учитывая еще то, что они должны образовывать арифметическую прогрессию (то есть расстояние между двумя соседними точками должно быть одинаково, например, 
Т.к. из квадратных уравнений следует, что 
, 
, то получаем систему:
Решая данную систему, находим, что 
– входит в промежуток 
.
2) График 
находится ниже графика 
.
Тогда 
. Рассуждая аналогично пункту 1, находим 
– входит в промежуток 
.