Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Теорема Виета» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

5 3 25x +25(a− 1)x − 4(a− 7)x= 0

имеет ровно пять различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

Заметим, что данное уравнение при любых значениях $a$ всегда имеет как минимум один корень $x= 0$ . Значит, для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение

25x4+ 25(a − 1)x2− 4(a − 7) = 0 (∗)

имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с $x = 0$ арифметическую прогрессию.

Заметим, что функция $4 2 y = 25x + 25(a − 1)x − 4(a− 7)$ является четной, значит, если $x0$ является корнем уравнения $(∗)$ , то и $− x0$ является его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями уравнения $(∗)$ были упорядоченные по возрастанию числа $− 2d,−d,d,2d$ (тогда $d> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-505-11.svg» width=»auto»>). Именно тогда данные пять чисел <img decoding=$ будучи корнями исходного уравнения, будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью $d$ ).

Чтобы корнями уравнения $(∗)$ являлись числа $− 2d,−d,d,2d$ , нужно, чтобы числа $d 2,4d2$ являлись корнями уравнения

2 25t + 25(a− 1)t− 4(a− 7)= 0(∗∗)

(сделали замену $x2 = t).$

Тогда по теореме Виета для уравнения $(∗∗):$

( ( ( 7 − a ||{− 4(a-−-7)-= d2⋅4d2 |{d4 = 7−-a ||{ d4 =--25- 25 ⇔ 25 ⇔ ( )2 ||(− 25(a-− 1)-= d2+ 4d2 |(d2 = 1−-a ||( 7−-a = 1−-a 25 5 25 5

Решим второе уравнение:

[ a2− a− 6= 0 ⇔ a = −2 a = 3

Причем при $a = −2$ имеем $∘-- d= ± 35$ , а при $a= 3$ имеем $d ∈∅$ . Значит, подходит значение $a= − 2$ и $∘ -- d= 3 5$ (т.к. должно быть d> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-505-28.svg» width=»auto»>). </p></div>
</div>

</article>

<div class= Алгебра. Теорема Виета