Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Связь между множествами решений» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких $a$ множества решений уравнения $(2a2 − a − 1)x = 5a − 5$ и неравенства $(6a2 + a − 1)x ≥ 3a + 2$ совпадают?

Мы имеем уравнение и неравенство линейного типа.

Для данного уравнения при $2a2 − a − 1 = 0$ решениями будут либо $x ∈ ∅$ , либо $x ∈ ℝ$ (нужно проверить), при $2 2a − a − 1 ⁄= 0$ решением будет одна точка (а именно, $-5a−5-- x = 2a2− a−1$ ).

Для данного неравенства при $6a2 + a − 1 = 0$ решениями будут либо $x ∈ ∅$ , либо $x ∈ ℝ$ (нужно проверить), при $6a2 + a − 1 ⁄= 0$ решением будет некоторый луч (либо от $− ∞$ до числа, либо от числа до $+ ∞$ ).

Итак, мы разобрали типы ответов, которые мы можем получить, решая уравнение и неравенство. Таким образом, единственная ситуация, когда решение уравнения и решение неравенства могут совпасть, это если решениями будут $x ∈ ∅$ либо $x ∈ ℝ$ , то есть как минимум при $2a2 − a − 1 = 0$ и $6a2 + a − 1 = 0$ .

Решением уравнения $2 2a − a − 1 = 0$ будут $a = − 0,5;1$ , решением уравнения $2 6a + a − 1 = 0$ будут $a = − 0,5; 13$ . Следовательно, одновременное выполнение этих двух условий возможно при $a = − 0,5$ .

При $a = − 0,5$ уравнение примет вид $0 ⋅ x = − 7,5$ (решениями этого уравнения будут $x ∈ ∅$ ), неравенство примет вид $0 ⋅ x ≥ 0,5$ (это неравенство также не имеет решений, то есть $x ∈ ∅$ ). Следовательно, действительно, при $a = − 0,5$ решения уравнения и неравенства совпадают.