Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Связь между множествами решений» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких значениях параметра $a$ уравнения

x3 + ax + 1 = 0 и x4 + ax2 + 1 = 0

имеют хотя бы один общий корень.

Пусть $x0$ — общий корень данных уравнений. Заметим, что $x0 ⁄= 0$ (т.к. $03 + a ⋅ 0 + 1 ⁄= 0$ ). Тогда верна следующая система:

{ 3 x0 + ax0 + 1 = 0 x40 + ax20 + 1 = 0

Умножим первое уравнение системы на $x0$ (имеем право, т.к. $x0 ⁄= 0$ ) и вычтем из полученного уравнения второе уравнение системы:

{ { { x40 + ax20 + x0 − (x40 + ax20 + 1) = 0 x0 = 1 x0 = 1 x4+ ax2+ 1 = 0 ⇒ x4 + ax2 + 1 = 0 ⇒ a = − 2 0 0 0 0

Таким образом, данные уравнения общим корнем могут иметь только $x0 = 1$ , и для того, чтобы $x0 = 1$ являлся их общим корнем, необходимо, чтобы $a = − 2$ . Проверкой можно убедиться, что $x0 = 1$ и $a = − 2$ подходят в оба уравнения.