Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Связь между множествами решений» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких $a$ множество решений неравенства

2 (a − 3a+ 2)x− a+ 2≥ 0

содержит полуинтервал $[2;3)?$

Преобразуем неравенство к виду

(a− 1)(a− 2)x≥ a− 2

Получили линейное неравенство. Рассмотрим случаи.

1) $a= 2.$

Тогда неравенство примет вид $0 ≥ 0,$ что верно при любых значениях $x,$ следовательно, множество решений содержит полуинтервал $[2;3).$

2) $a= 1.$

Тогда неравенство примет вид $0 ≥ −1,$ что верно при любых значениях $x,$ следовательно, множество решений содержит полуинтервал $[2;3).$

3) (a− 1)(a− 2)> 0 ⇔ a ∈(−∞; 1)∪(2;+∞ ). » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-511-10.svg» width=»auto»> </p>
<p class= Тогда неравенство примет вид

x≥ -1-- a− 1

$PIC$

Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал $[2;3),$ необходимо

1 3− 2a a−-1 ≤2 ⇔ a-− 1-≤ 0 a ∈ (− ∞;1)∪ [1,5;+ ∞ )

Учитывая условие $a ∈ (− ∞;1)∪ (2;+∞ ),$ получаем

a ∈(−∞; 1)∪(2;+∞ )

4) $(a− 1)(a− 2)< 0 ⇔ a ∈(1;2).$

Тогда неравенство примет вид

-1-- x≤ a− 1

$PIC$

Для того, чтобы множество решений содержало полуинтервал $[2;3),$ необходимо

-1-- ≥3 ⇔ 3a−-4≤ 0 a− 1 ( a] − 1 a∈ 1; 4 3

Учитывая условие $a ∈ (1;2),$ получаем

( ] a∈ 1; 4 3

Объединяя все случаи, получаем

( 4] a∈ −∞; 3 ∪[2;+ ∞)

Алгебра. Связь между множествами решений