Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Метод хорошего/плохого корня» №6

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

√ ----- √----- x− a⋅sin x= x − a⋅cosx

имеет ровно один корень на отрезке $[0;π].$

Исходное уравнение имеет один корень на отрезке $[0;π],$ если имеет единственное решение система

$pict$

Назовем решение системы из неравенств $x≥ a$ и $0≤ x ≤ π$ «ОДЗ».

Заметим, что из серии предполагаемых корней $x2$ в отрезок $[0;π ]$ попадает только предполагаемый корень $x2 = π. 4$ Следовательно, найдем, при каких значениях $a$ будет иметь одно решение система

([ ||||{ x1 = aπ x2 = 4 ||||x ≥a (0 ≤x ≤ π

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет «ОДЗ», в противном случае будем называть число плохим. Нам необходимо, чтобы ровно одно из чисел $x1,$ $x2$ было хорошим.

Тогда имеем:

$x 1$ — хорошее, если $0 ≤ a≤ π;$

$x2$ — хорошее, если $a ≤ π. 4$

Таким образом:

1.: $x1$ — хорошее, $x2$ — плохое, если $2.$; $x1$ — плохое, $x2$ — хорошее, если $( [ |{ a< 0 | a> π ⇔ a< 0 ( a≤ π4$
3.: $x = x , 1 2$ если $a = π, 4$ и тогда исходное уравнение имеет ровно один корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0;π]$ при

[ ] a∈ (−∞; 0)∪ π-;π 4

Алгебра. Метод хорошего/плохого корня