Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Метод хорошего/плохого корня» №2

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

√ ----- √ ----- 5x− 3⋅ln(3x− a)= 5x − 3⋅ln(4x+ a)

имеет ровно один корень на отрезке [0;1].

Уравнение можно переписать в виде

√----- 5x − 3 ⋅(ln(3x − a)− ln(4x +a))= 0

Назовем число хорошим, если оно лежит на отрезке [0;1] и удовлетворяет ОДЗ. В противном случае будем называть его плохим.

1) x1 = 3, 5 уже лежащее в [0;1], хорошее, если оно удовлетворяет условиям 3x− a> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1029-5.svg» width=»auto»> и <img alt= 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1029-6.svg» width=»auto»>:

( 9 |{ 5 − a> 0 ( 12 9) | 12 ⇔ a ∈ −-5 ;5 ( 5-+ a> 0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1029-7.svg» width=»auto»></div> <p class= 2) 3x− a =4x +a, откуда x2 = −2a, хорошее, если оно удовлетворяет условиям 5x − 3 ≥ 0, 3x− a> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1029-11.svg» width=»auto»> и <img decoding=

( |{− 10a − 3≥ 0 [ ] − 6a− a> 0 ⇔ a∈ − 1;− 3- |(0 ≤ −2a≤ 1 2 10 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1029-13.svg» width=»auto»></div> <p class= I. Пусть x1 хорошее. Следовательно, нужно пересечь значения ( ) a∈ − 125 ; 95 , когда x1 хорошее, со значениями ( ) ( ) a ∈ − ∞;− 12 ∪ − 310;+ ∞ , когда x2 плохое. Получим

( 12 1) ( 3- 9) a ∈ − 5 ;− 2 ∪ − 10;5

II. Пусть x2 хорошее. Тогда нужно пересечь значения a ∈[− 12;− 310], когда x2 хорошее, cо значениями a ∈(− ∞;− 125 ]∪ [95;+∞ ), когда x1 плохое. Получим

a∈ ∅

III. Заметим, что если x1 = x2, то есть a= − 3, 10 то исходное уравнение имеет один корень, лежащий в [0;1]. Следовательно, a = − 310 нам подходит.

Получаем окончательный ответ

( 12 1) [ 3 9) a∈ − 5-;− 2 ∪ − 10;5
Алгебра. Метод хорошего/плохого корня
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!