Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование замены» №5

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

( sinx ) 2 ( sinx ) sinx+1 2 − 1 a − 3⋅2 − 1 a+ 2 = 0

имеет хотя бы один корень.

Сделаем замену $sinx t= 2 .$ Так как $sin x∈ [− 1;1],$ то $[1 ] t∈ 2;2 .$ Следовательно, нужно найти те $a,$ при которых уравнение будет иметь хотя бы одно решение $t$ из отрезка $[ ] 1 2;2 .$ Приведя подобные слагаемые, можем переписать уравнение в виде

(a− 1)(a− 2)t= a(a − 1)

Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значений параметра $a.$

1) $a= 1.$ Тогда уравнение примет вид $0 = 0.$ Решением данного уравнения являются все $t.$ Следовательно, этот случай нам подходит.

2) $a= 2.$ Тогда уравнение примет вид $0 = 2.$ Такое уравнение не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит.

3) $a⁄= 1;2.$ Тогда имеем:

a t= a-− 2

Нам нужно, чтобы $[ ] t∈ 1;2 . 2$ Следовательно,

1 -a-- 2 ≤ a− 2 ≤ 2 ⇔ a ∈ (− ∞;− 2]∪ [4;+∞ )

В данном множестве не содержатся точки $a= 1;2.$

Объединяя случаи, получаем окончательно

a ∈(− ∞;−2]∪ {1}∪[4;+∞ )

Алгебра. Исследование замены