Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование замены» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

| 2 | 2 |cos x+ 2sinx − 2a|= cos x+ sinx +2a

имеет на промежутке $[ π- ) − 2;0$ единственный корень.

Так как $cos2x =1 − sin2x,$ то уравнение равносильно

2 2 |1 − sin x+ 2sinx − 2a|= 1− sin x + sinx+ 2a

Сделаем замену $t =sinx.$ Тогда если нам было нужно, чтобы уравнение имело один корень $x$ на промежутке $[− π-;0) , 2$ то новое уравнение должно иметь один корень $t$ на промежутке $[− 1;0).$

После замены имеем:

|1− t2+ 2t− 2a|= 1− t2+ t+2a ⇔

( ( |||t2− t− 1− 2a≤ 0 (∗) |{ 1[− t2 +t+ 2a ≥0 |||{⌊t1 = 4a ⇔ 1− t2+2t− 2a= 1 − t2+ t+ 2a ⇔ || 1 |( 1− t2+2t− 2a= − (1 − t2+ t+ 2a) |||||⌈t2 = − 2 ||( t3 = 2

Заметим, что корень $t3$ не удовлетворяет условию, то есть не лежит в промежутке $[− 1;0).$ Следовательно, для того, чтобы уравнение имело один корень на $[−1;0),$ нужно выполнение одного из случаев:

1) корень $t2$ подходит и корень $t1$ не подходит или совпадает с $t2;$

2) корень $t1$ подходит и корень $t2$ не подходит.

Рассмотрим эти случаи.

1) Чтобы подходил $t2,$ он должен удовлетворять неравенству $(∗).$ Чтобы не подходил $t1,$ он должен либо не принадлежать $[−1;0),$ либо совпадать с $t2,$ либо не удовлетворять неравенству $(∗).$

Таким образом, получаем систему

2) Чтобы подходил он должен принадлежать и удовлетворять неравенству Чтобы не подходил он должен не удовлетворять неравенству и не совпадать с Таким образом, получаем систему Объединяя случаи, получаем окончательно

Алгебра. Исследование замены