Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование замены» №2

Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень

Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять условию

Решим уравнение Если сделать замену причем По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут и

То есть и Заметим, что если, например, то уравнение не имеет решений. В противном случае оно будет иметь решение

Число будет являться решением уравнений или если или соответственно.

Таким образом, исходное уравнение

будет иметь два различных корня в следующих двух случаях.

1) Тогда либо один из корней или должен оказаться давая противоречие с условием или должен оказаться поскольку при а при будет совпадать с уже имеющимся корнем При этом другой корень должен оказаться

Это условие задается совокупностью:

Решением совокупности будут

2) , Следовательно,

Объединяя случаи, получаем окончательно