Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование при всех значениях параметра» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

2 2 a(x − 6)≥ (2 − 3a )x

при всех значениях параметра $a.$

Преобразуем неравенство к виду

2 2 ax + (3a − 2)x− 6a≥ 0

Рассмотрим два случая.

1) $a= 0.$

В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид

− 2x≥ 0 ⇒ x ≤0

2) $a⁄= 0.$

Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

4 2 2 2 2 D = 9a − 12a + 4+ 24a = (3a + 2)

Так как $a2 ≥ 0,$ то D >0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-369-7.svg» width=»auto»> при любых значениях параметра. </p>
<p class= Следовательно, уравнение $ax2+ (3a2− 2)x− 6a= 0$ всегда имеет два корня:

2 x1 = −3a, x2 = a

Таким образом, неравенство примет вид

(ax− 2)(x+ 3a)≥ 0

Если $a > 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-369-11.svg» width=»auto»> то <img decoding=$ и ветви параболы $y = (ax− 2)(x+ 3a)$ направлены вверх:

$PIC$

Значит, решением являются

[ ) x ∈ (− ∞;− 3a]∪ 2;+∞ a

Если $a < 0,$ то $x1 > x2 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-369-17.svg» width=»auto»> и ветви параболы <img decoding=$ направлены вниз:

$PIC$

Значит, решением являются

[ ] x∈ 2a;−3a