Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование при всех значениях параметра» №22

Просмотров 6 Комментарии 0

Решите при всех значениях параметра $a$ уравнение $|2x + 8| + |2x − 6 | = a$ .

Раскроем модули. Нули подмодульных выражений – это $x = − 4$ и $x = 3$ . Следовательно, при $x ≥ 3$ оба модуля раскроются положительно, при $− 4 < x < 3$ первый модуль раскроется положительно, а второй отрицательно, при $x ≤ − 4$ оба модуля раскроются отрицательно.

1) $x ≥ 3$ : $2x + 8 + 2x − 6 = a$ , откуда $x = 0,25(a − 2)$ . Чтобы в этом случае уравнение имело корень, нужно, чтобы $0, 25(a − 2) ≥ 3$ , то есть $a ≥ 14$ . Если $a < 14$ , то $x = 0,25(a − 2)$ не является корнем уравнения.

2) $− 4 < x < 3$ : $2x + 8 − 2x + 6 = a$ , откуда $14 = a$ . Значит, если $a = 14$ , то любой $x$ , удовлетворяющий $− 4 < x < 3$ , является решением уравнения. Если $a ⁄= 14$ , то промежуток $(− 4;3)$ не является решением уравнения.

3) $x ≤ − 4$ : $− 2x − 8 − 2x + 6 = a$ , откуда $x = − 0,25 (a + 2)$ . Аналогично первому случаю, если $− 0,25(a + 2) ≤ − 4$ (откуда $a ≥ 14$ ), то $a = − 0,25(a + 2)$ является корнем, в противном случае – нет.

Подытожив эти три случая, можно сказать, что при $a > 14 » class=»math» width=»auto»> решением исходного уравнения будут <img decoding=$ , $x = − 0,25(a + 2)$ . Если $a = 14$ , то решением уравнения будут $x = 0, 25(a − 2) = 3$ , $x = − 0,25 (a + 2 ) = − 4$ и $x ∈ (− 4;3)$ (то есть отрезок $[− 4;3 ]$ ). Если $a < 14$ , то уравнение не имеет решений.