Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование при всех значениях параметра» №17

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите уравнение

2 ax--−-(2a-+-3-)x-+-6- a + 3x − 6 = 0

при всех значениях параметра $a$ .

Рассмотрим два случая:

1) $a = 0$ . Тогда уравнение примет вид:

− 3x + 6 3x − 6 ---------= 0 ⇒ -------= 0 3x − 6 3x − 6

Данное уравнение не имеет решений ни при каких значениях $x$ .

2) $a ⁄= 0$ . Тогда данное уравнение равносильно системе:

( { ax2 − (2a + 3)x + 6 = 0 ( x0 ⁄= 6 −-a- 3

Дискриминант первого уравнения $2 2 D = 4a + 12a + 9 − 24a = (2a − 3)$ . Таким образом, $D ≥ 0$ при всех $a ⁄= 0$ , значит, уравнение всегда имеет два корня (может быть, совпадающих):

3- x1 = a ; x2 = 2

Рассмотрим случаи (не забывая учесть, что $a ⁄= 0$ ):

2.1) $x1 = x2 ⇒ a = 3- 2$ . Тогда система равносильна:

( { x = 2 ⇒ x = 2 ( x0 ⁄= 3- 2

Таким образом, исходное уравнение при $3 a = -- 2$ имеет один корень $x = 2$ .

2.2) $x ⁄= x ⇒ a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3;+ ∞ ) 1 2 2 2$ . В этом случае система равносильна:

( 3 ||{ x1 = -- ил и x2 = 2 a || 6 − a ( x0 ⁄= --3---

Данная система будет иметь один корень, если какой-то из $x 1$ или $x 2$ совпадет с $x 0$ , и два корня, если ни один из них не совпадет с $x0$ .

2.2.1) Какой-то из $x1$ или $x2$ совпал с $x0$ .

Решая уравнение $x = x 1 0$ , получим $a = 3$ . Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет один корень $x = 2$ .

Решая уравнение $x2 = x0$ , получим $a = 0$ . Но в нашем случае $a ⁄= 0$ , следовательно, $x2 ⁄= x0$ .

2.2.2) Ни один из $x1$ или $x2$ не совпал с $x0$ . Значит, при $a ⁄= 3$ и $3 3 a ∈ (− ∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2;+ ∞ )$ система будет иметь два корня: $x = 3-;x = 2 1 a 2$ .