Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование при всех значениях параметра» №13

Просмотров 7 Комментарии 0

Решите уравнение при всех значениях параметра $q$ :

(cos(πq) − 1) ⋅ x = q2 + q − 6

Правую часть уравнения можно переписать в виде $(q + 3 )(q − 2)$ . Уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая: $cos(πq ) − 1 = 0$ и $cos(πq) − 1 ⁄= 0$ .

1) $cos(πq) − 1 = 0$ . Тогда $cos(πq) = 1$ , откуда $πq = 2πn, n ∈ ℤ$ . Следовательно, $q = 2n, n ∈ ℤ$ . Тогда уравнение примет вид

0 ⋅ x = (2n + 3)(2n − 2)

Данное уравнение либо имеет бесконечное множество решений ( $x ∈ ℝ$ ), либо не имеет решений. В случае бесконечного множества решений правая часть уравнения равна 0, то есть $(2n + 3)(2n − 2 ) = 0$ . Существует ли такое целое $n$ , что выполняется данное равенство? Да, только при $n = 1$ выражение $(2n + 3 )(2n − 2)$ равно нулю. При этих значениях $n$ параметр $q = 2$ .
Таким образом, при $q = 2$ решением уравнения будут $x ∈ ℝ$ .
В случае отсутствия решений правая часть не равна нулю. Очевидно, что это выполняется при всех $n ⁄= 1$ . Таким образом, при $q = 2n, n ∈ ℤ∖{1 }$ уравнение не имеет решений.

2) $cos(πq) − 1 ⁄= 0$ , то есть $q ⁄= 2n,n ∈ ℤ$ . Тогда уравнение линейное и можно выразить $x$ :

x = (q-+-3)(q-−-2) cos(πq ) − 1

Таким образом, при $q ⁄= 2n,n ∈ ℤ$ уравнение имеет единственное решение.