Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. «Гвозди» для квадратичной функции» №9

ОДЗ неравенства: .
Заметим, что при всех из ОДЗ аргументы обоих логарифмов положительны.
Пусть . Так как , то , следовательно, . Тогда исходное неравенство относительно будет иметь решения при всех из ОДЗ, если полученное неравенство

относительно будет иметь решения при всех . Полученное неравенство можно переписать в виде

1) Пусть Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, решением неравенства может быть либо интервал (если ). Следовательно, нужно, чтобы решением неравенства был интервал, который содержал в себе отрезок . Нам подходит такая картинка:

То есть числа и должны находиться строго между корнями уравнения . Это задается следующими условиями:

подходят под условие  

2) Пусть . Тогда неравенство равносильно

), либо все (). Заметим, что абсцисса вершины параболы . Следовательно, для того, чтобы неравенство выполнялось при всех , нам подходят следующие положения параболы :
Первые два положения задаются условием , в этом случае отрезок содержится в решении неравенства Третье положение задается условием содержался в решении, нужно, чтобы число находилось правее правого корня, следовательно, располагаться не может, так как абсцисса вершины параболы равна ). Следовательно: Так как этот случай был возможен при , то, пересекая эти значения с , получим .

 

Объединяя найденные в обоих пунктах, получим окончательный ответ