Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. «Гвозди» для квадратичной функции» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых неравенство

2 2 a x − 2a(a− 3)x − 18 ≤0

имеет решения, и все эти решения принадлежат отрезку $[−1;2].$

При $a =0$ неравенство принимает вид $− 18≤ 0,$ что верно при любом значении $x ∈ℝ.$

Так как $ℝ$ не содержится в отрезке $[−1;2],$ то значение параметра $a= 0$ не подходит.

Далее будем считать, что $a ⁄= 0.$

Тогда старший коэффициент $a2 >0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1227-8.svg» width=»auto»> следовательно, при каждом фиксированном <img decoding=$ ветви параболы

2 2 f(x)= a x − 2a(a− 3)x− 18

направлены вверх.

Если дискриминант квадратного трехчлена $D < 0,$ то исходное неравенство не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит.

Если $D ≥ 0,$ то решением неравенства будет отрезок $[x1;x2],$ где $x1,x2$ — корни уравнения

a2x2− 2a(a− 3)x − 18 =0

Заметим, что при $D = 0$ решением неравенства будет вырожденный «отрезок» $[x0;x0],$ состоящий из одной точки $x0 =x1 = x2$ — абсциссы вершины параболы.

Изобразим эскиз параболы, удовлетворяющей условию задачи:

$PIC$

Здесь $2a(a−-3) a-− 3 x0 = 2a2 = a$ — абсцисса вершины параболы.

Для включения отрезка $[x1;x2]$ в отрезок $[−1;2]$ необходима система из условий:

(|f(−1)≥ 0 (|a ∈(−∞; 1− √7]∪ [1+ √7;+ ∞ ) ||{f(2)≥ 0 ||{a ≥ 3 √ - |−1 ≤ x ≤ 2 ⇒ |a ∈(2−∞; −3]∪ [3;+∞ ) ⇒ a∈ [1 + 7;+ ∞ ) ||( 02 2 ||( 2 D = 4a ((a− 3) +18)≥ 0 a ⁄=0

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции