Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. «Гвозди» для квадратичной функции» №4

Найдите все положительные значения параметра a  , при каждом из которых оба корня уравнения

     2 2 (1 − a)x  − 2ax + 1 = 0

не меньше − 3  .

По условию уравнение должно иметь два корня, значит, оно квадратное и имеем условия на старший коэффициент и дискриминант:

    2             2 1− a ⁄= 0, D = 4(2a − 1) > 0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1191-1.svg» width=»auto»></div>
<p class= Графиком функции

f(x) = (1 − a2)x2 − 2ax + 1

при каждом фиксированном a  является парабола.

Рассмотрим два случая в зависимости от направления ветвей параболы.

(1) Ветви направлены вверх:

1 − a2 > 0  ⇒   − 1 < a < 1

 
PIC
(2) Ветви направлены вниз:

    2 1− a < 0   ⇒   a < − 1 или a > 1 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1191-6.svg» width=»auto»></div>
<p class=  
PIC

 

Таким образом, для положительных по условию значений a  имеем совокупность двух случаев:

 ( ⌊|| D > 0                        ⌊ (|a ∈ (− ∞; − √1) ∪( 1√-;+∞ ) |||||{                              || |||{            2      2 ||  0 < a < 1                    ||  0 < a[ < 1 √--       √ --] ||||| f(− 3) ≥ 0                   || |||a ∈  13(1−  11); 13(1+  11) ||||( xверш = ---2a--- > − 3        || |(a ∈ (− ∞; − 1) ∪(1(1− √37-);1) ∪(1(1+ √37-);+ ∞ ) ||         2(1− a2)          ⇒   || (    (        ) 6(       )     6                  ⇒ ||(                              || ||a ∈  − ∞; − √1 ∪  1√-;+∞ |||||{ D > 0                        || ||{            2      2 ||  a > 1                        ||  a > 1(         √ —]  [     √ —     ) ⌈||| f(− 3) ≤ 0                   ⌈ ||||a ∈  − ∞; 13(1− ( 11) ∪√ 13(1+) 1(1);+ ∞√ —     )  ( xверш > − 3                     (a ∈ (− ∞; − 1)∪ 16(1−  37);1  ∪ 16(1+   37);+ ∞ » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1191-9.svg» width=»auto»></div>
<p class=
        ( 1   )   [1+ √11-    ) ⇒   a ∈  √--;1  ∪  -------;+∞            2          3

 
Заметим, что условие xверш > − 3  » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1191-11.svg» width=»auto»> важно. Без этого условия возможен еще один случай, который нам не подходит. Например: </p>
<p class=  

PIC

Оцените статью
Я решу все!