Найдите все значения параметра 
, при которых система
имеет ровно два различных решения.
Преобразуем данную систему:
Данная система при 
Заметим, что решения первой и второй системы из данной совокупности всегда будут различны, т.к. 
при всех 
и 
.
I. При 
уравнения (1) и (2) – линейные, имеющие корни 
и 
соответственно. Но т.к. 
Следовательно, данное значение 
нам не подходит.
При 
уравнения (1) и (2) являются квадратными. Найдем их дискриминанты:
II. Рассмотрим 
.
Тогда 
Корни уравнения (1):
точно не подходит.Рассмотрим три случая:
. Тогда 
. Следовательно, 
тоже не подходит.Тогда для того, чтобы исходная система имела два различных решения, нужно, чтобы
Рассмотрим параболу 
. При рассматриваемых 
ее ветви направлены вверх, следовательно, т.к. 
и 
находятся либо одновременно правее 
(подходит), либо одновременно левее 
(не подходит).Для того, чтобы оба были правее
, нужно, чтобы и вершина параболы была правее 
, то есть 
, получим 
.
. Тогда 
. Следовательно, 
нам подходит.
Тогда для того, чтобы исходная система имела два решения, нужно, чтобы 
, а 
Парабола и в данном случае с ветвями, направленными вверх, следовательно, учитывая 
и 
находятся либо одновременно левее, либо одновременно правее 
. Такая ситуация нам не подходит.
. Тогда 
. Следовательно, 
нам подходит.
Тогда нужно, чтобы 
, а 
Парабола в данном случае с ветвями вниз, то есть, учитывая 
. Значит, этот случай нам подходит.
Следовательно, при 
система имеет два решения.
III. При 
имеем: 
и 
и 
, из которых 
не подходит под 
IV. При 
имеем 
и 
, уравнение (2) имеет корни 
и 
. Таким образом, учитывая 
V. При 
имеем 
и 
, следовательно, оба уравнения имеют по одному корню: 
и 
. Видим, что двух решений система не имеет.
Таким образом, ответ: 
.