Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. «Гвозди» для квадратичной функции» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых решение неравенства

2 2 (a + 2a− 3)x − (3a+ 1)x+ 2 ≥ 0

содержит отрезок $[1;4]$ .

Перепишем неравенство в виде

2 (a− 1)(a+ 3)x − (3a +1)x+ 2≥ 0

Рассмотрим следующие случаи.

1) $(a− 1)(a+ 3)= 0$

В этом случае неравенство становится линейным:

⌊ ({a = 1 | || (x ≤ 1 ||| ({a = 2−3 ⌈ 1 (x ≥ −4

Видим, что только при $a = −3$ решение неравенства содержит отрезок $[1;4].$

Следовательно, $a= − 3$ пойдет в ответ.

2)

В этом случае неравенство является квадратичным, причем при каждом фиксированном графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Рассмотрим уравнение Найдем дискриминант 2.1) При получаем и парабола имеет ровно одну точку пересечения с осью Тогда решением неравенства являются все что в свою очередь содержит отрезок Следовательно, пойдет в ответ. 2.2) При получаем имеет две точки пересечения с осью и решением неравенства являются Для того, чтобы решение содержало отрезок необходимо, чтобы парабола задавалась одним из двух видов: или Тогда имеем систему и далее совокупность двух случаев: При модуль раскрывается отрицательно: При раскрывается положительно: Решением данной совокупности будут 3) Тогда неравенство также является квадратичным и — парабола, ветви которой направлены вниз. При этих значениях также дискриминант Для того, чтобы решение содержало отрезок необходимо, чтобы парабола выглядела следующим образом: Тогда получаем систему Объединяя все полученные значения для получим окончательный ответ.

Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции