Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции» №1

Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. «Гвозди» для квадратичной функции» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых множество решений неравенства

3x2− (a + 1)x− a2− a+ 1 <0 4

содержит отрезок $[− 2;2].$

Рассмотрим функцию

f (x)= 3 x2− (a +1)x− a2− a+ 1 4

Тогда наше неравенство имеет вид $f(x)< 0.$

При каждом фиксированном $a$ графиком функции $y = f(x)$ является парабола, причем ветви параболы направлены вверх. Если неравенство $f(x) < 0$ имеет решения, то существуют точки, принадлежащие параболе, которые находятся ниже оси абсцисс. Следовательно, уравнение $f(x)= 0$ имеет два различных корня, то есть парабола пересекает ось абсцисс в двух точках $x1 <x2.$

Тогда интервал $(x1;x2)$ является решением неравенства $f(x)< 0.$ Отрезок $[−2;2]$ содержится в интервале $(x1;x2),$ если числа $x = −2$ и $x =2$ находятся между корнями $x1$ и $x2.$ Получаем картинку ниже:

$PIC$

Эта картинка задается следующими условиями:

({ ( √ --) f(−2)< 0 ⇒ a ∈ −∞;− 3+---17- ∪ (3;+∞ ) ( f(2)< 0 2

Замечание.

Если существует хотя бы одна точка $x= x0,$ в которой $f(x0)< 0,$ где графиком $y = f(x)$ является парабола с ветвями вверх, то автоматически эта парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, то есть выполнено условие $D > 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-370-21.svg» width=»auto»> для уравнения <img decoding=$ Следовательно, в нашей системе требование существования двух различных корней уравнения $f(x)= 0$ является излишним.