Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Запись числа в двоичной системе счисления» №6

На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом:

1)Строится двоичная запись числа N.

2)К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а)Дописывается справа бит чётности: 0, если в двоичном коде числа N было чётное число единиц, и 1, если нечётное;

б)К полученному результату дописывается ещё один бит чётности

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.

Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число, большее, чем 78. В ответе это число запишите в десятичной системе.

for i in range(1, 1000):
    s = bin(i)[2::]
    if s.count(’1’) % 2 == 0:
        s += ’0’
    else:
        s += ’1’
    if s.count(’1’) % 2 == 0:
        s += ’0’
    else:
        s += ’1’
    if int(s, 2) > 78:
        print(i)
        break

Аналитическое решение:

Если изначальное число $N$ имеет чётное количество единиц, то после добавления нуля количество единиц не изменится, а потому на следующем шаге также добавится ноль. Итого к числу допишут два нуля.

Если изначально число $N$ имеет нечётное количество единиц, то после добавления единицы количество единиц увеличится на 1, что означает, что количество единиц станет чётным числом, а значит на следующем шаге уже будут добавлять ноль. Итого к числу допишут единицу и ноль.

Значит мы будем проверять только числа, которые кончаются на $00$ или $10$ .

Могло ли получиться число $79$ ? Нет, в двоичной СС оно выглядит как $10011112$ , а значит получиться после алгоритма не могло.

Могло ли получиться число 80? В двоичной СС оно выглядит как $10100002$ . Так что вполне возможно. Если откинем последние две цифры, то у нас останется число $101002$ , у него чётное число единиц, а значит после работы алгоритма к нему дописали бы два нуля, но это как раз те самые цифры, которые мы откинули, значит $101002 = 2010$ и есть искомое число.

Ответ: 20