Задача к ЕГЭ по информатике на тему «задачи под вебы» №82

Источник: https://kpolyakov.spb.ru/

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 19 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 35. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 35 или больше камней.

В начальный момент в куче было $S$ камней, $1 ≤ S ≤ 34$ .

1. При каких $S$ : 1а) Петя выигрывает первым ходом; 1б) Ваня выигрывает первым ходом?

2. Назовите все значения $S$ , при которых Петя может выиграть своим вторым ходом.

3. При каком $S$ Ваня выигрывает своим первым или вторым ходом?

В ответе укажите сначала левую границу отрезка из ответа на вопрос 1a), затем через пробел правую, затем левую границу отрезка из ответа на вопрос 1б), затем через пробел правую, затем через пробел ответ на 2 вопрос, затем через пробел ответ на вопрос 3.

Из условия игроки могут делать ходы: $+4, × 2$ .

1a. Найдем при каких значениях S Петя выиграет первым ходом: $S ∈ [18;34]$ .

Эта позиция будет выигрышной для любого игрока, у которого она окажется.

1б. Для того чтобы Ваня выиграл своим первым ходом после хода Пети, у него должна быть позиция $[18;34]$ . При этом Петя не делает неудачные ходы. Это значения $[14;17]$ .

2. Для того чтобы найти начальные значения $S$ , из которых выигрывает Петя своим вторым ходом, нужно рассмотреть проигрышные позиции $[14;17]$ .

Петя после своего первого хода должен сделать так, чтобы эти позиции достались Ване. Поэтому значения $S = 7,8,10,11,12,13$ .

3. Найдем значение $S$ , при котором Ваня выиграет своим первым или вторым ходом.

Для этого Ваня должен попасть в значения $S = 7,8,10,11,12,13$ либо в значения $[18;34]$ .

Получаем, что $S = 9$ , так как из него можно попасть в 13 ходом $+ 4$ или в 18 ходом $× 2$ .

Ответ: 18 34 14 17 7 8 10 11 12 13 9