Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №8

Для игры, описанной ранее, найдите такое значение $S$ , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Рассмотрим $S = 36$ и стартовую позицию $(23,36)$ .

Если Петя домножит первую кучу на 2 и получит позицию $(46,36)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом, умножив первую кучу на 2 и получив позицию $(92,36)$ .

Если Петя домножит вторую кучу на 2 и получит позицию $(23,72)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом, умножив вторую кучу на 2 и получив позицию $(23,144)$ .

Если Петя добавит 1 камень в первую кучу и получит позицию $(24,36)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(24,37)$ , добавив во вторую кучу 1 камень. Из позиции $(24,37)$ ни один шаг не приведет Петю к победе (максимальная сумма, которую может получить Петя, равна $24 + 37⋅2 = 98$ ), но любой его шаг ставит Ваню в позицию, из которой Ваня выигрывает своим вторым ходом, умножив большую кучу на 2.

Если Петя добавит 1 камень во вторую кучу и получит позицию $(23,37)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(24,37)$ , и снова выиграет своим вторым ходом, умножив большую кучу на 2.

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 99:  # Если камней в куче стало больше 98
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 1, second_heap), game(first_heap, second_heap + 1), game(first_heap * 2, second_heap),
             game(first_heap, second_heap * 2)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,76):
    if game(23,i) == -2: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        print(i)

Ответ: 36