Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №5

Сколько существует значений $S$ , при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть за один ход;

— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Решение руками

Из предыдущего задания мы знаем, что в значении $11$ , $12$ Ваня гарантированно выигрывает своим первым ходом. Значение, из которого ХОТЯ БЫ ОДИН ход ведет в $11$ или $12$ – это значение, в котором Петя выигрывает вторым ходом. Распишем значение и стратегии, при которых Петя побеждает своим вторым ходом:

При $S = 6$ Петя умножит кол-во камней в куче в $2$ раза и станет $12$ . Ваня может прийти либо в $S = 14$ , либо в $S = 24$ , тогда Петя выиграет, умножив кол-во камней в куче в $2$ раза.

При $S = 9$ Петя прибавит $2$ камня в кучу и станет $11$ камней. Ваня либо придет в $S = 13$ , либо в $S = 22$ , тогда Петя выиграет, умножив кол-во камней в куче в $2$ раза.

При $S = 10$ Петя прибавит в кучу $2$ камня и повторится такой же исход, как и с $S = 6$ .

В ответ нужно указать количество значений S. Ответ: $3$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 25: # если камней в куче стало больше 24
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+2),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)
count = 0
for i in range(1,25):
    if game(i) == 2: # если в данной позиции возможен выигрыш Пети вторым ходом
        count += 1
print(count)

Решение АР

from functools import lru_cache
def moves(h):
    return (h+2), (h*2)
@lru_cache(None)
def game(h):
    if h >= 25:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    elif any(game(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    elif all(game(x) == ’WIN2’ or game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’
counter = 0
for s in range(1, 25):
    if game(s) == ’WIN2’:
        counter += 1
print(counter)

Ответ: 3