Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №44

Для игры, описанной ранее, найдите количество значений $S$ , при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Из предыдущих заданий мы знаем, что Петя побеждает своим первым ходом при нечётных значениях в отрезке [17;49] и значениях 48,50, а также, что Петя побеждает своим вторым ходом в значениях: (3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14). Значение, из которого ВСЕ первые ходы ведут в вышеописанные значения – это значение, в котором Ваня гарантированно побеждает вторым ходом или первым при неудачной игре Пети. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает вторым или первым ходом:

$S = 1$ . Петя может увеличить количество камней только до $3$ ходом $∗3$ .

$S = 2$ . Петя может увеличить количество камней до $3$ ходом $+ 1$ или до $5$ ходом $+ 3$ .

В ответ нужно указать количество значений S. Ответ: $2$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 51: # если камней в куче стало больше 50
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [] # cписок всех возможных ходов в партии
    if first_heap % 2 == 0: # если количество камней в куче является чётным
        # то можем совершить только +1, +3 ходы, так как чётное+нечётное = нечётное
        moves = [game(first_heap+1),game(first_heap+3)]
    else: # если количество камней в куче является нечётным
        # то можем совершить только *3 ход, так как нечётное*нечётное = нечётное
        moves = [game(first_heap*3)]
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)
count = 0
for i in range(1,51):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
    if game(i) == -2:
        count += 1
print(count)

Решение АР

from functools import lru_cache

def moves(heap):
    m = []
    if (heap * 3) % 2 != 0:
        m += [heap * 3]
    if (heap + 1) % 2 != 0:
        m += [heap + 1]
    if (heap + 3) % 2 != 0:
        m += [heap + 3]
    return m

@lru_cache(None)
def game(heap):
    if heap >= 51:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
        return ’WIN1’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ for x in moves(heap)):
        return ’LOSE1’
    elif any(game(x) == ’LOSE1’ for x in moves(heap)):
        return ’WIN2’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ or game(x) == ’WIN2’ for x in moves(heap)):
        return ’LOSE2’

count = 0
for s in range(1, 51):
    count += (game(s) == ’LOSE2’)
print(count)

Ответ: 2