Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №4

Для игры, описанной ранее, укажите такое значение $S$ , при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Рассмотрим значение и стратегии, при которых Ваня побеждает вторым ходом или первым при неудачной игре Пети:

При $S = 32$ Петя может добавить во вторую кучу $1$ камень, чтобы получились кучи $(7,33)$ , Ваня добавит $1$ в первую кучу и получит $(8;33)$ . Петя может сходить в $(9;33),(8;34);(41;33);(8;41)$ , а Ваня, добавив в меньшую кучу кол-во камней как в большей куче, выиграет;

либо же Петя может добавить в первую кучу $1$ камень, получится $(8;32)$ , Ваня добавит во вторую кучу $1$ , получив $(8;33)$ и доведет игру, описанную выше;

либо же Петя может добавить во вторую кучу $7$ камней и получится $(7;39)$ , тогда Ваня сходит в $(46;39)$ и выиграет;

либо же Петя может добавить в первую кучу $32$ камня и получится $(39;32)$ , тогда Ваня сходит в $(39;71)$ и выиграет.

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 75:  # Если камней в куче стало больше 74
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 1, second_heap), game(first_heap, second_heap + 1),
             game(first_heap + second_heap, second_heap),game(first_heap, second_heap + first_heap)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,68):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
    if game(7,i) == -2:
        print(i)

Решение АР

from functools import lru_cache
def moves(h):
    a, b = h
    return (a, b+1), (a, b+a), (a+1, b), (a+b, b)
@lru_cache(None)
def game(h):
    if sum(h) >= 75:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    elif any(game(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    elif all(game(x) == ’WIN2’ or game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’
for s in range(1, 68):
    if game((7, s)) == ’LOSE2’:
        print(s)

Ответ: 32