Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №4

Для игры, описанной в задании с ID #61317, найдите количество значений S, при котором одновременно выполяняются два условия:

$−$ у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

$−$ у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Из предыдущих заданий мы знаем, что в значениях $7$ , $16$ , $17$ , $18$ , $19$ Петя гарантированно побеждает своим вторым ходом и в отрезке значений [24;71] Петя побеждает гарантированно своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ первые ходы ведут в вышеописанные значения – это значение, в котором Ваня гарантированно побеждает вторым ходом или первым при неудачной игре Пети. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает вторым или первым ходом:

$S = 12$ . Петя может увеличить количество камней до $16$ или $36$ . В первом случае, Ваня выиграет вторым ходом. Во втором случае, Ваня победит первым ходом.

$S = 13$ . Петя может увеличить количество камней до $17$ или $39$ . В первом случае, Ваня выиграет вторым ходом. Во втором случае, Ваня победит первым ходом.

$S = 14$ . Петя может увеличить количество камней до $18$ или $42$ . В первом случае, Ваня выиграет вторым ходом. Во втором случае, Ваня победит первым ходом.

$S = 15$ . Петя может увеличить количество камней до $19$ или $45$ . В первом случае, Ваня выиграет вторым ходом. Во втором случае, Ваня победит первым ходом.

В ответ нужно указать количество значений S. Ответ: $4$

Программное решение

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 72: # если камней в куче стало больше 71
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+4),game(first_heap*3)] # расписываем ходы доступные нам в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)
count = 0
for i in range(1,72):
    if game(i) == -2: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        count += 1
print(count)

Ответ: 4