Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №2

Для игры, описанной ранее, найдите такое значение $S$ , при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если такого значения нет, в ответ запишите $0$ .

Решение руками

Из предыдущих заданий мы знаем, что в значениях $6$ , $11$ Петя гарантированно побеждает своим вторым ходом и в отрезке значений [13;24] Петя побеждает гарантированно своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ первые ходы ведут в вышеописанные значения – это значение, в котором Ваня гарантированно побеждает вторым ходом или первым при неудачной игре Пети. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает вторым или первым ходом:

$S = 10$ . Петя может увеличить количество камней до $11$ или $20$ . В первом случае, Ваня выиграет вторым ходом. Во втором случае, Ваня победит первым ходом.

Ответ: $10$

Решение программой

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 25: # если камней в куче стало больше 24
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,25):
    if game(i) == -2: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        print(i)

Альтернативное решение программой

from functools import lru_cache

def moves(h):
    return (h + 1), (h * 2)

@lru_cache(None)
def game(h):
    if h >= 25:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    elif any(game(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ or game(x) == ’WIN2’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’

for i in range(1, 25):
    if game(i) == ’LOSE2’:
        print(i)

Ответ: 10