Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №2

Укажите такое значение $S$ , при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Рассмотрим значение и стратегии, при которых Ваня побеждает вторым ходом или первым ходом при неудачной игре Пети:

При $S = 12$ Петя может увеличить кол-во камней во второй куче на один, до $(4;13)$ , тогда сработает игра из предыдущего задания, только для Вани, и он победит;

может увеличить кол-во камней во второй куче в $3$ раза, до $(4;36)$ , тогда Ваня выиграет следующим ходом, умножив $36$ на $3$ ;

может увеличить кол-во камней в первой куче на один, до $(5;12)$ , тогда Ваня прибавит один камень во вторую кучу $(5;13)$ , Петя сходит в одну из позиций $(6;13);(5;14);(15;13);(5;39)$ , а Ваня увеличит кол-во камней в наибольшей куче в $3$ раза и выиграет;

может увеличить кол-во камней в первой куче в $3$ раза, до $(12;12)$ , тогда Ваня увеличит кол-во камней в любой куче в $3$ раза $(12;36)$ и выиграет.

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 45:  # Если камней в куче стало больше 44
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap, second_heap+1), game(first_heap+1, second_heap),
             game(first_heap * 3, second_heap),game(first_heap, second_heap * 3)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,41):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
    if game(4,i) == -2:
        print(i)

Решение АР

from functools import lru_cache
def moves(h):
    a, b = h
    return (a, b+1), (a, b*3), (a+1, b), (a*3, b)
@lru_cache(None)
def game(h):
    if sum(h) >= 45:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    elif all(game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    elif any(game(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    elif all(game(x) == ’WIN2’ or game(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’
for s in range(1, 41):
    if game((4, s)) == ’LOSE2’:
        print(s)

Ответ: 12