Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №19

Для игры, описанной ранее, найдите такое значение $S$ , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если такого значения нет, в ответ запишите $0$ .

Решение руками

Рассмотрим $S = 14$ и стартовую позицию $(12,14)$ .

Если Петя домножит первую кучу на $2$ и получит позицию $(24,14)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом, умножив первую кучу на $2$ .

Если Петя домножит вторую кучу на $2$ и получит позицию $(12,28)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом, умножив вторую кучу на $2$ .

Если Петя добавит $2$ камня в первую кучу и получит позицию $(14,14)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(14,16)$ , добавив $2$ камня во вторую кучу. Из позиции $(14,16)$ ни один шаг не приведет Петю к победе (максимальная сумма, которую может получить Петя, равна $14 + 16⋅2 = 46$ ), но любой его шаг ставит Ваню в позицию, из которой Ваня выигрывает своим вторым ходом, умножив большую кучу на $2$ .

Если Петя добавит 2 камня во вторую кучу и получит позицию $(12,16)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(14,16)$ и так же, как в предыдущем случае, гарантированно выиграет своим вторым ходом.

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 48:  # Если камней в куче стало больше 47
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 2, second_heap), game(first_heap, second_heap + 2), game(first_heap * 2, second_heap),
             game(first_heap, second_heap * 2)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,35):
    if game(12,i) == -2: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        print(i)

Решение АР

from functools import lru_cache


def moves(h):
    a, b = h
    return (a + 2, b), (a, b + 2), (a * 2, b), (a, b * 2)


@lru_cache(None)
def f(h):
    if sum(h) >= 48:
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    if all(f(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    if any(f(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    if all(f(x) == ’WIN1’ or f(x) == ’WIN2’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’


for i in range(1, 35):
    h = i, 12
    if f(h) == ’LOSE2’:
        print(i)

Ответ: 14