Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №17

Для игры, описанной ранее, найдите такое значение $S$ , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если такого значения нет, в ответ запишите $0$ .

Решение руками

Рассмотрим $S = 14$ и стартовую позицию $(3,14)$ .

Если Петя добавит 1 камень в первую кучу и получит позицию $(4,14)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(4,15)$ , добавив во вторую кучу $1$ камень. Из позиции $(4,15)$ ни один шаг не приведет Петю к победе (максимальная сумма, которую может получить Петя, равна $4 + 15⋅3 = 49$ ), но любой его шаг ставит Ваню в позицию, из которой Ваня выигрывает своим вторым ходом, умножив большую кучу на $3$ .

Если Петя добавит 1 камень во вторую кучу и получит позицию $(3,15)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(4,15)$ , добавив в первую кучу $1$ камень. Из позиции $(4,15)$ ни один шаг не приведет Петю к победе (максимальная сумма, которую может получить Петя, равна $4 + 15⋅3 = 49$ ), но любой его шаг ставит Ваню в позицию, из которой Ваня выигрывает своим вторым ходом, умножив большую кучу на $3$ .

Если Петя домножит первую кучу на $3$ и получит позицию $(9,14)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом умножив большую кучу на $3$ .

Если Петя домножит вторую кучу на $3$ и получит позицию $(3,42)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом умножив большую кучу на $3$ .

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 50:  # Если камней в куче стало больше 49
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 1, second_heap), game(first_heap, second_heap + 1), game(first_heap * 3, second_heap),
             game(first_heap, second_heap * 3)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,47):
    if game(3,i) == -2: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        print(i)

Решение АР

from functools import lru_cache


def moves(h):
    a, b = h
    return (a + 1, b), (a, b + 1), (a * 3, b), (a, b * 3)


@lru_cache(None)
def f(h):
    if sum(h) >= 50:
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    if all(f(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    if any(f(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    if all(f(x) == ’WIN1’ or f(x) == ’WIN2’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’


for i in range(1, 47):
    h = i, 3
    if f(h) == ’LOSE2’:
        print(i)

Ответ: 14