Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №13

Для игры, описанной ранее, найдите такое максимальное значение $S$ , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Крабового есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Оливье;

– у Крабового нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если такого значения нет, в ответ запишите $0$ .

Решение руками

Рассмотрим $S = 18$ .

Если Оливье добавит $1$ камень в кучу и получит позицию $S = 19$ , то Крабовый своим первым ходом поставит Ольвье в позицию $S = 20$ , добавив в кучу $1$ камень. Из позиции $S = 20$ ни один шаг не приведет Ольвье к победе (максимальная сумма, которую может получить Оливье, равна $20 ⋅2 = 40$ ), но любой его шаг ставит Крабовый в позицию, из которой Крабовый выигрывает своим вторым ходом, умножив большую кучу на $2$ .

Если Оливье добавит $3$ камня в кучу и получит позицию $S = 21$ , то Крабовый выигрывает своим первым ходом, умножив кучу на $2$ .

Если Оливье домножит кучу на $2$ и получит позицию $S = 36$ , то Крабовый выигрывает своим первым ходом, умножив кучу на $2$ .

Решение БУ

#Петя - Оливье
#Ваня - Крабовый

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 42: # если камней в куче стало больше 41
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*2),game(first_heap + 3)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,42):
    if game(i) == -2: # если в данной позиции Ваня побеждает вторым ходом
        print(i)

Решение АР

from functools import lru_cache


def moves(h):
    return h + 1, h + 3, h * 2


@lru_cache(None)
def f(h):
    if h >= 42:
        return ’END’
    if any(f(x) == ’END’ for x in moves(h)):
        return ’WIN1’
    if all(f(x) == ’WIN1’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE1’
    if any(f(x) == ’LOSE1’ for x in moves(h)):
        return ’WIN2’
    if all(f(x) == ’WIN1’ or f(x) == ’WIN2’ for x in moves(h)):
        return ’LOSE2’


for i in range(42, 1, -1):
    if f(i) == ’LOSE2’:
        print(i)
        break

Ответ: 18