Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №11

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите такое максимальное значение $S$ , при котором у Петя есть выигрышная стратегия, причём Петя не может выиграть за один ход и Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Решение руками

Из предыдущего задания мы знаем, что в значениях [21;41] Петя гарантированно побеждает своим первым ходом. Для начала нам нужно определить значение, в котором Ваня побеждает своим первым ходом. Значение, из которого ВСЕ первые ходы ведут в вышеописанный отрезок – это значение, в котором Ваня гарантированно побеждает своим первым ходом. Распишем значение и стратегии, при которых Ваня побеждает своим первым ходом:

$S = 20$ . Петя может увеличить камней до $21$ или $40$ камней. В обоих случаях, Ване не составит труда закончить игру следующим ходом.

После того как мы определили значение, в котором Ваня побеждает первым ходом мы можем определить значения, в которых Петя гарантированно побеждает своим вторым ходом. Значение, из которого ХОТЯ БЫ ОДИН ход ведёт в $20$ – это значение, где Петя гарантированно побеждает своим вторым ходом. Распишем значения и стратегии, при которых Петя побеждает своим вторым ходом:

$S = 10$ Петя может увеличить количество камней до $20$ ходом $∗ 2$

$S = 19$ Петя может увеличить количество камней до $20$ ходом $+ 1$

В ответ нужно указать максимальное значение S. Ответ: $19$

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 42: # если камней в куче стало больше 41
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [game(first_heap+1),game(first_heap*2)] # прописываем ходы возможные в партии
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,42):
    if game(i) == 2: # если в данной позиции Петя побеждает вторым ходом
        print(i)

Решение АР

from functools import lru_cache

def moves(heap):
    return heap + 1, heap * 2

@lru_cache(None)
def game(heap):
    if heap >= 42:
        return ’END’
    elif any(game(x) == ’END’ for x in moves(heap)):
        return ’P1’
    elif all(game(x) == ’P1’ for x in moves(heap)):
        return ’V1’
    elif any(game(x) == ’V1’ for x in moves(heap)):
        return ’P2’
    elif all(game(x) == ’P1’ or game(x) == ’P2’ for x in moves(heap)):
        return ’V2’

for s in range(1, 42):
    print(s, game(s))

Ответ: 19