Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №10

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Из предыдущих заданий мы знаем, что в отрезке [61;179] все нечётные значения являются выигрыш для Пети первым ходом, а также в значениях $19$ , $53$ , $55$ Петя побеждает своим вторым ходом. Значение, из которого ВСЕ первые ходы ведут в вышеописанные значения – это значение, в котором Ваня гарантированно побеждает вторым ходом или первым при неудачной игре Пети. Распишем значения и стратегии, при которых Ваня побеждает вторым или первым ходом:

$S = 49$ . Петя может увеличить количество камней до $53$ ходом $+ 4$ или до $147$ ходом $∗3$ . В первом случае, Ваня победит вторым ходом. Во втором — первым ходом.

$S = 51$ . Петя может увеличить количество камней до $55$ ходом $+ 4$ или до $153$ ходом $∗3$ . В первом случае, Ваня победит вторым ходом. Во втором — первым ходом.

В ответ нужно указать минимальное значение S. Ответ: $49$

Программная реализация

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap): # функция игры
    if first_heap >= 180: # если камней в куче стало больше 179
        return 0 # прекращаем игру
    moves = [] # cписок всех возможных ходов в партии
    if first_heap % 2 == 0: # если количество камней в куче является чётным
        # то можем совершить только +3 ход, так как чётное+нечётное = нечётное
        moves = [game(first_heap+3)]
    else: # если количество камней в куче является нечётным
        # то можем совершить только +4,*3 ход, так как нечётное*нечётное = нечётное и нечётное+чётное = нечётное
        moves = [game(first_heap+4),game(first_heap*3)]
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # проверяем есть ли выигрыш Пети в данной позиции
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,180,2):
    # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
    if game(i) == -2:
        print(i)
        break

В результате программы на экран будут выведены числа 49 и 51. Наименьшим является 49.

Ответ: 49