Задача к ЕГЭ по информатике на тему «Теория игр» №10

Для игры, описанной ранее, найдите такое максимальное значение $S$ , при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение руками

Рассмотрим $S = 23$ и стартовую позицию $(5,23)$ .

Если Петя домножит первую кучу на 3 и получит позицию $(15,23)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом, умножив вторую кучу на 3 и получив позицию $(15,69)$ .

Если Петя домножит вторую кучу на 3 и получит позицию $(5,69)$ , то Ваня выиграет своим первым ходом, умножив вторую кучу на 3 и получив позицию $(5,207)$ .

Если Петя добавит 2 камня в первую кучу и получит позицию $(7,23)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(7,25)$ , добавив во вторую кучу 2 камня. Из позиции $(7,25)$ ни один шаг не приведет Петю к победе (максимальная сумма, которую может получить Петя, равна $7 + 25⋅3 = 82$ ), но любой его шаг ставит Ваню в позицию, из которой Ваня выигрывает своим вторым ходом, умножив большую кучу на 2.

Если Петя добавит 2 камня во вторую кучу и получит позицию $(5,25)$ , то Ваня своим первым ходом поставит Петю в позицию $(7,25)$ , и снова выиграет своим вторым ходом, умножив большую кучу на 2.

Решение БУ

from functools import lru_cache
@lru_cache(None)
def game(first_heap, second_heap):  # Функция игры
    if first_heap + second_heap >= 84:  # Если камней в куче стало больше 83
        return 0  # Прекращаем игру
    moves = [game(first_heap + 2, second_heap), game(first_heap, second_heap + 2), game(first_heap * 3, second_heap),
             game(first_heap, second_heap * 3)]  # Генерация всех возможных ходов
    petya_win = [i for i in moves if i <= 0]
    if petya_win: # если в данной позиции есть выигрыш Пети
        return -max(petya_win) + 1
    else: # если в данной позиции выигрыш Вани
        return -max(moves)

for i in range(1,79):
    if game(5,i) == -2: # если в данной позиции возможен выигрыш Вани вторым ходом
        print(i)

Ответ: 23