Задача к ЕГЭ по информатике на тему «составление таблицы истинности» №4

Просмотров 7 Комментарии 0

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(a ≡ (b ∨ c)) → (c ∧ (b ∨ a))$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений $c,$ при которых $F = 1.$

|---|--|--|---| |a--|b-|c-|F--| |0 |0 |0 |1 | |0--|0-|1-|0--| |---|--|--|---| |0--|1-|1-|1--| |0--|1-|0-|1--| |1 |0 |0 |0 | |1--|1-|0-|0--| |---|--|--|---| |1--|1-|1-|1--| -1---0--1--1--|

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Импликация ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное. Значит, $F = 0,$ если $- a ≡ (b ∨ c) = 1,$ a $c ∧ (b ∨ a) = 0.$ В остальных случаях $F = 1.$ Рассмотрим, при каких значениях $a,$ $b$ и $c$ $- a ≡ (b ∨ c) = 1$ (если $- a ≡ (b ∨ c) = 0,$ то $F = 1$ при любом значении $c ∧ (b ∨ a) = 0).$

Если $a = 0,$ то, чтобы выполнялось $a ≡ (b ∨ c) = 1,$ необходимо $b ∨ c = 0$ (ведь операция эквивалентности истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны). Чтобы дизъюнкция $- (b ∨ c)$ была ложна, оба высказывания, входящие в нее, должны быть ложны, то есть $b = 0$ и $- c = 0$ $(c = 1).$ При таких значениях $c ∧ (b ∨ a) = 1 ∧ (0 ∨ 0) = 0.$ Тогда $- (a ≡ (b ∨ c)) → (c ∧ (b ∨ a)) = 1 → 0 = 0,$ $F = 0.$ Это соответствует строке 2 из таблицы истинности.

Если $a = 1,$ то чтобы выполнялось $a ≡ (b ∨ c) = 1,$ $b ∨ c = 1.$ Это выполняется в нескольких случаях. Если $b = 1,$ то $c$ может быть равна и нулю и единице, ведь одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, уже истинно. При $c = 1$ $c ∧ (b ∨ a) = 1 ∧ 1 = 1,$ тогда $F = 1$ (так как $1 → 1 = 1,$ строка 7). При $c = 0$ $c ∧ (b ∨ a) = 0 ∧ 1 = 0,$ значит, $F = 0$ $(1 → 0 = 0,$ строка 6). Если $b = 0,$ то $c = 1$ $(c = 0,$ тогда одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, будет истинным). В таком случае $c ∧ (b ∨ a ) = 0 ∧ (0 ∨ 1) = 0.$ $F = 0,$ так как $1 → 0 = 0$ (строка 5).

2. При других значениях $a,$ $b$ и $c$ $F = 1,$ потому что $- a ≡ (b ∨ c) = 0$ (строки 1, 3, 7, 8).

3. Из составленной таблицы истинности видим, что $F = 1$ при $c = 0$ (строки 1, 4) и при $c = 1$ (строки 3, 7, 8). Сумма значений равна 0 * 2 + 1 * 3 = 3.

Ответ: 3