Задача к ЕГЭ по информатике на тему «составление таблицы истинности» №3

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$----- (z ∨ y) ∨ (w ∧ (z ≡ y))$

Составьте её таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений $z,$ $y$ и $w,$ при которых $F = 1.$

|---|--|--|--|------|------|------|------------|--------------------| |w--|y-|z-|y-|z-∨-y-|z-∨-y-|z ≡-y-|w-∧-(z-≡-y)-|z-∨-y-∨-w-∧-(z-≡-y)-| |0 |0 |0 |1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |0--|0-|1-|1-|--1---|--0---|--0---|-----0------|---------0----------| |---|--|--|--|------|------|------|------------|--------------------| |0--|1-|0-|0-|--0---|--1---|--0---|-----0------|---------1----------| |0--|1-|1-|0-|--1---|--0---|--1---|-----0------|---------0----------| |1 |0 |0 |1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |1--|0-|1-|1-|--1---|--0---|--0---|-----0------|---------0----------| |---|--|--|--|------|------|------|------------|--------------------| |1--|1-|0-|0-|--0---|--1---|--0---|-----0------|---------1----------| -1---1--1--0----1------0------1---------1----------------1-----------

1. $----- (z ∨ y) = z ∧ y$

2. В таблице истинности будет $23 = 8$ строк.

3. Если $z = 1$ и $y = 1,$ $(z ≡ y ) = 1$ (так как эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно ложны или истинны). $-- z ∧ y = 0$ $(0 ∧ 1 = 0).$ Если $w = 1,$ $w ∧ (z ≡ y) = 1$ $(1 ∧ 1 = 1)$ и $F = 1,$ так как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из входящих в нее высказываний (строка 8 в таблице истинности). Если $w = 0,$ $w ∧ (z ≡ y) = 0$ $(0 ∧ 1 = 0)$ и $F = 0,$ так как оба высказывания, входящие в дизъюнкцию, ложны (строка 4).

4. Аналогично для $z = 0,y = 0.$ $(z ≡ y) = 1,$ $-- z ∧ y = 0$ $(1 ∧ 0 = 0).$ Тогда снова значение функции будет зависеть от $w.$ При $w = 1$ $w ∧ (z ≡ y) = 1,$ $F = 1,$ так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строка 5), а при $w = 0$ $w ∧ (z ≡ y) = 0,$ $F = 0,$ так как все высказывания ложны (строка 1).

5. Если $z = 0$ и $y = 1,$ то $-- z ∧ y = 1$ $(1 ∧ 1 = 1).$ Так как $(z ≡ y) = 0$ (ведь значения $z$ и $y$ различны), $w ∧ (z ≡ y) = w ∧ 0$ будет ложна при любом $w.$ Тогда, так как значение переменной $w$ не будет влиять на значение функции, при $z = 0$ и $y = 1$ $w$ может быть как 0, так и 1. $F = 1,$ так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, истинно (строки 3, 7).

6. Если $z = 1$ и $y = 0,$ то $-- z ∧ y = 0 ∧ 0 = 0.$ Так как $(z ≡ y) = 0,$ $w ∧ (z ≡ y ) = w ∧ 0$ будет ложна при любом $w$ (то есть $w$ может быть и 0 и 1). Значит, при $z = 1$ и $y = 0$ $F$ всегда будет ложна (так как оба высказывания, входящих в дизъюнкцию, ложны, строки 2, 5).