Задача к ЕГЭ по информатике на тему «простейшие программы с функциями» №3

Определите, что выведет программа.

|-------------------------|--------------------------| |Python |C++ | |def-f(x-) :--------------|#include--<--iostream-->—| | | | | returnx ∗ x ∗ x |usingnamespacestd; | |def g(x) : |intf (intx ){ | | return129 ∗ x ∗ x + 24| returnx ∗ x ∗ x; | |i = 1 |} | |k = int (input ()) |intg (intx ){ | | | | |whilef (i) <= g(i) : | return129 ∗ x ∗ x + 24;| | i∗ = 2 |} | |print (i) |intmain (){ | | | intk, i = 1; | | | cin > > k; | | | | | | while(f(i) <= g(i)) | | | i∗ = 2; | | | cout < < i; | | | return0; | | | | ---------------------------}--------------------------

Рассмотрим основную функцию в программе: если выполнено условие $f(i) > g(i), » class=»math» width=»auto»> <img decoding=$ увеличивается вдвое. Как только условие цикла перестает выполняться, то есть $f(i)$ $≤$ $g(i),$ мы выходим из цикла и выводим $i.$ То есть ответом будет минимальное (т.к. иначе из цикла мы бы вышли на предыдущем или одном из предыдущих значениях) значение $i,$ при котором $f(i)$ $≤$ $g(i),$ то есть $3 2 i ≤ 129i + 24.$

Немного попытавшись поподбирать целые корни $i3 − 129 ⋅ i2$ — 24 = 0, несложно догадаться, что так задачу не решить. Тогда можно воспользоваться тем, что мы рассматриваем только целые $i$ и подобрать такое $i,$ что $f(i − 1) > g(i − 1), » class=»math» width=»auto»> а <img decoding=$ $≤ g(i),$ — такое $i$ и будет решением, т.к. оно будет первым, при котором мы выйдем из цикла.

Но это не самый легкий и умный путь. Если $k = 129,$ $f(129 ) = 129 ⋅ 129 ⋅ 129,$ а $g (129 ) = 129 ⋅ 129 ⋅ 129 + 24$ — и сравнить эти значения не очень трудно. $f (129) ≤ g(129),$ значит, при $i$ = 129 условие цикла еще верно. Теперь посмотрим на $i$ = 130: $f (130) = 130 ⋅ 130 ⋅ 130 = (129 + 1) ⋅ 130 ⋅ 130 = 129 ⋅ 130 ⋅ 130 + 130 ⋅ 130,$ а $g(130 ) = 129 ⋅ 130 ⋅ 130 + 24$ — очевидно, $f (i) > g(i) » class=»math» width=»auto»> — условие цикла не выполняется. Значит, условие цикла выполняется только при <img decoding=$ < 130.

Теперь посмотрим, что если условие цикла выполняется, то $i$ умножается на 2. То есть ответом будет какая-то степень двойки, так как мы начали с $i$ = 1 и в цикле все время умножали $i$ на 2.

Итак, в любой момент выполнения цикла $i$ — это какая-то степень двойки. Найдем последнюю степень двойки, меньшую 130. Это $7 2$ = 128. На всякий случай покажем, что f(128) $≤$ g(128): $128 ⋅ 128 ⋅ 128 ≤ 129 ⋅ 128 ⋅ 128 + 24,$ то есть $128 ⋅ 128 ⋅ 128 ≤ (128 + 1) ⋅ 128 ⋅ 128 + 24 = 128 ⋅ 128 ⋅ 128 + 128 ⋅ 128 + 24.$ Значит, т.к. $i$ = 128 — степень двойки, в цикле мы достигнем такого значения и в теле цикла умножим $i$ на 2, получив 256. 256 > 130 и условие цикла уже не будет выполнено: $256 ⋅ 256 ⋅ 256 = (129 + 127) ⋅ 256 ⋅ 256 = 129 ⋅ 256 ⋅ 256 + 127 ⋅ 256 ⋅ 256 > 129 ⋅ 256 ⋅ 256 + 24. » class=»math» width=»auto»> Значит, при таком <img decoding=$ мы выйдем из цикла — это и будет наш ответ.

Ответ: 256