Задача к ЕГЭ по информатике на тему «прочие прототипы» №10

Петя и Вася играют в игру. Они начинают с целого положительного числа $N$ и поочередно выполняют над ним операции. В свой ход игрок может вычесть из $N$ один из его делителей, который не равен $1$ или $N$ . Игрок, который не может сделать ход проигрывает. Начинает Петя.

Известно, что Петя проиграл первым же ходом(не смог сделать первый ход). Найдите наибольшее возможное $N$ , не превышающее $100$ , для которого это могло случится.

Давайте рассмотрим 3 случая для этой задачи:

1) $N$ нечетно

2) $N$ четно, а $N$ не является степенью $2$

3) $N$ — степень $2$

Если $N$ нечетно, единственный ход — вычесть нечетный делитель (поскольку все делители нечетные). Делая это, мы получим четное число, которое не является степенью 2 (случай 2). Если $D$ является делителем $N$ , то $N − D$ также должен быть кратным $D$ , и так как $D$ нечетно, то $N − D$ не может быть степенью числа $2$ .

Если $N$ четно и не является степенью 2, это означает, что $N$ имеет нечетный делитель. Вычитая этот нечетный делитель, мы получим $N − D$ нечетное (случай 1).

Теперь давайте покажем, что вычитание нечетного делителя при каждом движении приводит к выигрышу. Простые числа проигрывают. Поскольку каждое простое число либо нечетно либо равно $2$ , стратегия дать другому игроку нечетное число работает, потому что оно либо будет простым (другой игрок проиграет), либо ваш соперник сделают ход и даст вам другое четное число, которое не является степенью $2$ . Вы можете продолжать этот процесс, потому что вы никогда не получите проигрышный номер, а поскольку игра должна заканчиваться после конечного числа ходов, ваш противник всегда должен проигрывать.

Итак, мы доказали, что нечетные числа проигрывают, а четные числа, которые не являются степенями $2$ , выигрывают.

Что делать, если $N$ — это степень $2$ ? Вы можете сделать две вещи за один ход, уменьшить вдвое $N$ или сделать $N$ четным числом, которое не является степенью $2$ (мы доказали, что это выигрышная позиция для другого игрока).

Единственный оптимальный ход — уменьшить $N$ вдвое, сделав его еще одной степенью 2. Игроки продолжают в том же духе, пока один из них не получит 2, что является простым числом, так что он проигрывает. Если $log2(n )$ четное, выигрывает Петя, в противном случае выигрывает Вася.

19.5) В задаче фактически просят найти наибольшее простое не превышающее 100. Ответ: 97

20.5) Получить ответ можно либо перебором начиная от 22, либо после полноценного решения задачи разбором всех случаев. Ответ: 22

21.5) Следует провести полноценные рассуждения об анализе выигрышных и проигрышных позиций. Ответ: 100002.

Ответ: 97